"Đến lúc đó xem điểm của ai cao hơn." Tôi nói.
"Xem điểm của ai cao hơn." Cậu ta lặp lại một lần.
Sau đó chúng tôi mỗi người đi về phía trạm xe buýt theo hướng khác nhau.
Trên đường, tôi nhận được một tin nhắn WeChat.
Ôn Tri Vi: Cậu cố ý đúng không?
Tôi: Cái gì?
Ôn Tri Vi: Cư/ớp Tần Dữ. Cậu cố ý.
Tôi nhìn chằm chằm màn hình hai giây, gõ phím trả lời.
Tôi: Tôi không cư/ớp người. Tôi chỉ cư/ớp điểm số thôi.
Đối phương đang nhập...
Nhập rất lâu.
Cuối cùng, không có tin nhắn nào gửi đến cả.
Tôi cất điện thoại vào túi, lên xe buýt.
Trên đường về nhà, tôi nhẩm lại cách giải bài Toán tổ hợp trong đề thi học sinh giỏi hôm nay trong đầu một lần nữa.
Tư duy bù trừ của Tần Dữ kết hợp với tư duy truy hồi của tôi, chắc là có thể tạo ra cách giải thứ ba tối ưu hơn.
Ngày mai đến trường sẽ nói với cậu ấy.
Còn về Ôn Tri Vi --
Việc đó không nằm trong kế hoạch học tập của tôi.
【Chương 6】
Tuyển chọn lớp học sinh giỏi vào thứ Tư tuần sau.
Toàn khối có hơn bảy mươi người đăng ký tham gia, cuối cùng chỉ lấy hai mươi người.
Nội dung thi: Một bộ đề thi tổng hợp Toán học học sinh giỏi trong ba tiếng.
Sáu câu hỏi lớn, từ lý thuyết số, đại số, hình học, tổ hợp mỗi loại ra một đến hai câu. Không có câu hỏi trắc nghiệm, không có câu hỏi điền đáp án. Mỗi câu đều là chứng minh hoặc giải toán, thứ cạnh tranh chính là tư duy Toán học thuần túy.
Đêm trước ngày thi tuyển chọn.
Tôi ngồi trước bàn học, không làm bài.
Mà là lật lại đề thi thật của các kỳ thi liên minh toàn quốc và CMO trong ba năm qua -- không phải để làm, mà là để xem.
Xem hướng tư duy của người ra đề, xem sự thay đổi trọng tâm khảo sát mỗi năm, xem phương pháp nào là "chìa khóa vạn năng".
Mười một giờ.
Điện thoại rung lên.
Tần Dữ gửi một tin nhắn -- một bức ảnh.
Trong ảnh là một cuốn vở đang mở trên bàn của cậu ta, phía trên là danh sách các bổ đề thường dùng trong thi học sinh giỏi mà cậu ta đã tổng kết. Chằng chịt, nét chữ ngay ngắn như phông chữ in.
Tần Dữ: Xem lại cái này lần cuối đi. Ngày mai thi có ích đấy.
Tôi xem trong hai phút, ghi lại vài bổ đề mà tôi chưa từng tổng kết.
Sau đó trả lời: Cảm ơn. Mai gặp.
Tần Dữ: Ừ.
Tắt đèn. Đi ngủ.
Ngày hôm sau.
Hai giờ chiều.
Phòng học lớn tầng bốn tòa nhà tổng hợp trường.
Bảy mươi ba người ngồi ngay ngắn, mỗi bàn cách nhau một mét.
Tôi ngồi ở vị trí cạnh cửa sổ hàng thứ ba.
Tần Dữ ở phía sau tôi hai hàng, hơi chếch sang trái.
Giám thị là tổ trưởng tổ Toán -- một người trung niên đã hói nửa đầu, nghe nói tốt nghiệp khoa Toán Đại học Bắc Kinh.
"Phát đề. Ba tiếng, sáu câu. Làm được bao nhiêu thì làm." Thầy nhìn quanh một vòng, "Bắt đầu."
Tôi lật đề thi.
Câu một: Lý thuyết số. Chứng minh với mọi số nguyên dương n, tồn tại n số nguyên dương liên tiếp sao cho mỗi số trong đó đều không phải là lũy thừa hoàn hảo.
Dạng bài kinh điển. Phản chứng kết hợp với ước lượng.
Mười lăm phút, giải quyết xong.
Câu hai: Bất đẳng thức đại số. Chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến.
Bất đẳng thức Schur + phân tách SOS.
Hai mươi phút.
Câu ba: Hình học phẳng.
Tôi dừng lại một chút.
Cấu trúc hình học của bài này rất tinh tế -- cần vẽ đường tròn phụ trợ và đường đối cực.
Tôi vẽ hình trên giấy nháp ba lần, tìm được điểm mấu chốt.
Sử dụng tính bất biến của tỉ số kép trong hình học xạ ảnh để thực hiện một phép biến đổi đẹp mắt.
Ba mươi lăm phút.
Câu bốn: Tổ hợp.
Bài toán phủ bàn cờ. Tô màu + cấu trúc truy hồi.
Hai mươi lăm phút.
Bốn câu đầu làm xong, tốn một tiếng rưỡi. Còn lại một tiếng rưỡi, hai câu.
Câu năm.
Tôi đọc xong đề, nhịp thở khựng lại một chút.
Đây là một bài phương trình hàm.
Tìm tất cả các hàm số f:R→R thỏa mãn f(x+y)f(x-y)=(f(x)+f(y))²-4x²f(y).
Phương trình hàm là dạng bài linh hoạt nhất trong các kỳ thi học sinh giỏi. Không có quy luật cố định, tất cả đều dựa vào sự kết hợp giữa "đoán" và "kiểm chứng".
Tôi nhắm mắt lại, trong đầu lướt qua các thủ pháp xử lý phương trình hàm thường gặp.
Thay giá trị đặc biệt. Đặt x=0, đặt y=0, đặt x=y...
Năm phút sau, tôi mở mắt, đặt bút.
Đặt y=0: f(x)²=(f(x)+f(0))²-4x²f(0)
Khai triển, rút gọn.
Nếu f(0)=0, nhận được f(x)²=f(x)², luôn đúng -- lượng thông tin không đủ, cần thay giá trị khác.
Đặt x=y: f(2x)f(0)=(f(x)+f(x))²-4x²f(x)
Nếu f(0)=0, thì 0=4f(x)²-4x²f(x), tức là f(x)(f(x)-x²)=0.
Vậy với mỗi x, f(x)=0 hoặc f(x)=x².
Nhưng tôi cần chứng minh đó là nghiệm tổng quát -- không thể có chuyện tại một số điểm nhận giá trị 0, một số điểm nhận giá trị x².
Thay lại vào phương trình gốc để kiểm chứng.
Nếu tồn tại điểm a sao cho f(a)=0, và điểm b sao cho f(b)=b² --
Tôi thay x=b, y=a...
Tính toán. Mâu thuẫn xuất hiện rồi.
Được. Vậy chỉ có hai nghiệm: f(x)≡0 hoặc f(x)=x².
Nhưng --
Khoan đã.
Tôi đọc lại đề một lần nữa.
"f:R→R".
Nếu f(0)≠0 thì sao?
Tôi lùi lại. Bắt đầu suy luận lại từ nhánh f(0)≠0.
Đặt f(0)=c≠0.
